[알고리즘]최대 공약수(GCD) 알고리즘 - 유클리드 호제법

기존 GCD구하는 방법

for i in range(min(a,b),0,-1):
    if a%i==0 and b%i==0:
        print(i)
        break

a와 b중 작은 숫자부터 시작해서 1까지 감소하면서, 제일 처음 a와 b모두 나눠떨어트리는 수를 찾는 방법이다.
이러한 경우는 무차별 대입(Brute Force)로 O(N)의 시간복잡도를 갖는다.

유클리드 호제법 (Euclidean Algorithm)

def gcd(a,b):  # a>b
    if b==0:
        return a
    c=a%b
    return gcd(b,c)

a를 b로 나눈 나머지를 r이라고 했을때, a와 b의 최대공약수는 b와 r의 최대공약수와 같다는 성질을 이용한 것이다.(재귀함수 이용)
이러한 성질을 활용하여 b와 r의 최대공약수 r0를 구하고 r을 r0로 나눈 나머지를 구하는 과정을 반복하여 나머지가 0 이 되었을때 그 몫이 a와 b의 최대공약수가 된다. 이렇게 할 경우 O(logN)의 시간복잡도를 가진다

기존의 방법보다 시간복잡도를 개선할 수 있다.

최소공배수

최소공배수=두 자연수의 곱 / 최대공약수 이다.
즉 (a*b)//gcd(a,b)가 된다.